...來一杯溫度完美的咖啡?先學好微分方程吧!──《超展開數學約會》
第二週早上，我（小昭）决心選擇跟上週一樣的時間去小大由之吃早饭， 但沒碰到世杰跟他的數學講義。我有點掉，以為创建起來的默契， 看來只是自作多情。我要用貝式定理來算一下得扣世杰幾分。一走進课堂，同學們散落在後方的坐位谈西藏旅遊, 天、吃早饭、玩手機。世杰獨自坐在第一排津津有味地讀著講義。真的很喜歡數學呢，我看著他的模樣，剛剛的掉一掃而空。他看到我，不過多是在思虑數學吧，他又低下頭，一會兒才再抬頭跟我打号召。
「晨安！」
「你原來已經在课堂了。我剛去吃早饭時還在想會不會碰到你。」
「遇……碰到我嗎？妳、妳說妳想像會碰到我嗎？！」世杰臉上露出驚訝的脸色，我剛剛的話太積極嚇到他了嗎？
「哈，你幹嘛裝得那麼誇張，好可笑噢。」我趕快用開打趣的語氣答复。
他挪開椅子上畫有數學符號的背包。
連喝個早饭咖啡都和數學有關?! 圖／pixabay
「我在想一個跟咖啡有關的數學。」在我坐下後他說。
我沒預期到才三句話就進入數學的話題，就像電影開場五分鐘就主角就跟壞人存亡決鬥一樣讓人措手不及。我伸手抓口袋裡的手機，思虑怎樣才能在不被發現的情況下跟欣妤乞助。
「怎樣的數學呢？」
「假设早上妳泡了一杯熱咖啡，冰箱裡還有一杯冰牛奶，妳想在10分鐘後喝杯涼一點的咖啡。妳有兩個選擇，先把冰牛奶倒進咖啡裡，靜置 10 分鐘。或先放 10 分鐘後，再倒冰牛奶。妳會選哪一個？」
我鬆了口氣，還好他不是要我立即解一道方程式。长短題最少有一半的答對機率。
「我選第二個，感覺比較冰。這跟數學有關嗎？」
「有噢，溫度是可以算出來的。」
世杰拿筆寫下數學式子，我看見了 y，y 右上方還有一撇。那是什麼意思？不谨慎畫到的嗎？
「小昭，妳幹嘛坐那麼前面啊？」欣妤的聲音從後方傳過來。太好了，我趕快起家離開。
「欣妤學姊！欠好意思，下課你再解釋給我聽好嗎。」
「就說不要叫我學姊了。他誰啊，啊，世杰嗎？」欣妤壓低音量說，我點點頭。世杰禮貌地跟欣妤打号召後，繼續看講義。我小聲地告訴欣妤剛剛的狀況，感謝她的及時出現，否則我就要出包了。
「右上方那撇是微分啦。咖啡溫度的數學，這我有印象。妳等我問大师。」
欣妤在群組裡連發了好幾則訊息，裡面有「咖啡」、「溫度」、「微分方程」、「夹杂」等字眼，每個字我都看得懂，但串在一块儿就變得目生。
「妳剛剛突然離開，他會不會受傷啊。」欣妤看著螢幕打字邊說。
「仿佛有點沒禮貌……但是若是繼續坐著就穿幫了。」
「否则妳跟他說下战书去咖啡廳做實驗，這樣就可以順理成章地約會啦。安心，我會在那以前幫妳準備好必要晓得的數學知識。」欣妤抬頭看我，兩眼發亮，一副比我還等待的模樣。
咖啡廳裡的數學實驗室
「兩杯熱咖啡，再給我一份冰牛奶。」世杰從櫃檯走回來。
「這間咖啡廳很棒哎。」我們坐在靠窗坐位，旁邊放了個裝咖啡豆的大夏布袋，跟椅子差未几高。
「好復古的桌椅。」
「我猜不是復古，老闆當初開店時說不定還是挑最新格局的。」世杰調皮地踩了踩地板，發出嘎嘎聲響，和老闆娘磨豆的聲音，一块儿交融在店裡的爵士樂裡，賦予這間咖啡廳一種獨特、經年累月沉澱出的優雅氣氛。
「世杰老師的咖啡廳數學課要開始了嗎？」
「好，妳聽過牛頓冷卻定律嗎？」
我點點頭，心想欣妤真會猜題。她只聽到咖啡兩個字，便可以猜出生避世杰會用到哪些數學。聽說他們還有去問世杰的同學孝和，或許孝和也幫忙給了些建議。
「冷卻定律的意思是，我們點了一杯熱咖啡，從沖泡好的那一瞬間起，它的溫度就會開始降低，降低速率跟咖啡现在的溫度與室溫差距有關……」世杰解釋起牛頓冷卻定律，我在三小時內第二次聽到這個理論， 但對它還是很是目生。
「你們的咖啡來了，起士蛋糕是款待常客的。」
「老闆娘都認識你，好厲害噢。蛋糕真好吃。」我挖了一小塊送入嘴中，现在我很是必要咖啡和糖分。
「我還滿喜歡吃他們的起士蛋糕。」世杰也挖了一塊蛋糕。我本来有些擔心他眼裡只有數學，其他都沒興趣，但現在看起來應該是我多慮了。他喜歡摸索本身的興趣， 同時也願意廣泛接管其他事物，归去又多一項要列入貝式定理計算的項目了。
好吃的起司蛋糕也能够替戀情加分喔。圖／pixabay
「我大要懂你說的，溫度變化能用斜率暗示，變化又跟咖啡溫度和室溫差距有關，以是可以列出等式。然後……算出咖啡從泡好開始，每分鐘的溫度變化。只是，這樣跟牛奶先倒後倒有什麼關係呢？」
我一口氣背出群組裡的大师幫我收拾好的台詞。「不消講太多， 讓他以為妳數學不錯就好。剩下來給他發揮吧。」離開前欣妤這樣告訴我。把數學當成國文在唸，這對我來說不是太目生的一件事。
世杰把冰牛奶倒入此中一杯咖啡，在餐巾紙上寫下算式，
「有噢，當冰牛奶倒進熱咖啡，假設牛奶跟咖啡的比熱不异， 熱咖啡 200 克，90 度。牛奶 5 度，50 克。夹杂後的咖啡牛奶就是 73 度。」
「噢～」我湊近看式子，裝出一副颇有興趣的模樣。
「可以嗎？各自的比例乘上各自的溫度。」世杰補充，我心虛地點點頭。
還好世杰沒察覺出來，现在他是數學世界的導遊，用介紹知名景點的口气，指著加牛奶的咖啡說：「以是囉，若是先倒冰牛奶，咖啡就會從 90 度降低成 73 度娛樂城, ，之後的 10 分鐘再渐渐變涼。還記得我們剛剛說的，熱咖啡變涼的速率，取決於咖啡和環境的溫度差。比較涼的咖啡，降溫速率會比較慢。」他邊寫邊說。
假設咖啡一開始的溫度是 C，方圆環境溫度是 s，溫度隨著時間 t 的變化是：
k 是常數。現在多了溫度 m 的牛奶，夹杂後咖啡占整杯拿鐵的比例是 x，則先夹杂後靜置的狀況，降溫的變化可以寫成：
「中括號裡面的 xC-(1-x) m 就是我們剛剛算的 73 度，咖啡跟牛奶夹杂後的狀況。再操纵微分方程，便可以解出來了。」
Napkin Math（餐巾紙上的數學），我總以為這是只有電影裡才發生的畫面。
「你學過微分方程了嗎？」我說出阿叉在群組裡的問題。
「下學期才要修。」
「那你怎麼會？」
「因為仿佛還滿有趣的，就略微翻了一下。微分方程告訴我們， 夹杂後的拿鐵溫度 T1隨時間 t 的變化：
「妳钻研一下，我去拿另外一杯冰牛奶。」
世杰起家走去吧台，我趕快把公式全数拍到群組裡，再補上一句：
這究竟是什麼？
先倒牛奶再靜置降溫的公式。
不消懂整個公式，只要記得 x 跟 (1-x) 是夹杂的意思，e-kt就是放著降溫的過程。
阿叉跟商商回答我。
我想起午时我們的確有討論過，x 是夹杂的比例，例如說 30% 的玄色跟 70% 的白色夹杂，便可以用 x 跟 (1-x) 來暗示。e-kt則是像之前理化課學的半衰期，指數上頭有個 -t，暗示隨著時間減少，并且不是線性遞減，是每隔一陣子少幾倍的那種指數遞減。
欣妤補了一句：括號裡面的先算，所所以先夹杂，再降溫。
從他們的口中，公式變得仿佛一幅畫，這邊是一個花瓶，那邊是另外一扇窗戶。雖然細節我還是不懂，但最少略微能理解這個式子了。耳邊傳來地板嘎嘎聲響，世杰捧著百家樂教學,一杯冰牛奶走回來。
晚一點倒牛奶，咖啡比較涼
「冰牛奶來囉，我就省略計算過程，第二種狀況咖啡溫度 T2(t)是：
中括號裡的是放涼一陣子後的黑咖啡溫度，然後用剛剛講的比例乘以各自的溫度，均匀起來，就是先放涼，再加冰牛奶的狀況。」我看了看式子，有 e-kt的是靜置降溫，有 x 跟 (1-x) 的是夹杂，括號裡面的要先算，暗示事前發海盜村,生的事变。
「以是這個式子的確是先降溫，然後再夹杂。」我覺得有點開心，我居然可以解釋這個式子哎。世杰點點頭，把冰牛奶倒進去第二杯咖啡，邊攪拌邊說：「妳有興趣的話可以試著推導看看，可以證明无论 t 是几多， 均可以获得 T1(t)
「嗯嗯不消了沒關係，我信赖你是對的。」世杰把杯子推到我眼前。
「妳現在喝喝看這兩杯，哪一杯比較涼。」
「這杯真的比較涼哎～你好厲害！」
「沒有啦。是微分方程厲害……」世杰露出欠好意思的笑脸。阿叉的建議公然很中肯。
本文摘自《超展開數學約會：談個戀愛，關數學什麼事！？》，臉譜出书。
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